Presentación del problema.

Trabajaremos con los datos de la base de datos airquality de R; se trata de medidas diarias de la calidad del aire y de variables climatológicas tomadas en Nueva Yory entre mayo y septiembre de 1973. En concreto, se consideran las variables

Se pretende establecer un modelo lineal entra ambas variales, con Temp como variable explicativa y Wind como variable respuesta.

Carga de datos.

Teclea en un script y ejecuta las siguientes órdenes

x = airquality$Temp
y = airquality$Wind

Enunciado.

Ejercicio 1

Comprueba que la lectura ha sido correcta con la funcióin summary(): visualiza las primeras lineas de cada vector

summary(x)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   56.00   72.00   79.00   77.88   85.00   97.00
summary(y)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##   1.700   7.400   9.700   9.958  11.500  20.700

las variables son numéricas y no parece haber datos ausentes.

Ejercicio 2

Visualiza la nube de puntos para determinar de forma visual si tiene sentido utilizar un modelo lineal. 

plot(x, y)

El modelo lineal parece adecuado. Recuerda poner primero la variable independiente y depués la dependiente.

Ejercicio 3

Crea el modelo de regresión lineal y comprueba si se cumplen las hipótesis necesarias.

Recuerda que para crear el modelo lineal hay que poner primero la variable dependiente y después la independiente:

lmXY = lm(y ~ x)
par(mfrow = c(1, 2))

for(i in 1:2){
  plot(lmXY, which = i)
}

par(mfrow = c(1, 1))

Los gráficos sugieren normalidad y homocedasticidad en los residuos. Aún así, se aconseja hacer los correspondientes contrastes:

# contastes de normalidad
shapiro.test(lmXY$residuals)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  lmXY$residuals
## W = 0.9856, p-value = 0.1132

El contraste de normalidad es satisfactorio y el de homocedasticidad

# ---- homocedasticityTests
# H0: homocedasticidad en poblaciones normales
library(gvlma)
gvlma(lm(y ~ x), alphalevel = 0.01)
## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)            x  
##     23.2337      -0.1705  
## 
## 
## ASSESSMENT OF THE LINEAR MODEL ASSUMPTIONS
## USING THE GLOBAL TEST ON 4 DEGREES-OF-FREEDOM:
## Level of Significance =  0.01 
## 
## Call:
##  gvlma(x = lm(y ~ x), alphalevel = 0.01) 
## 
##                        Value p-value                Decision
## Global Stat        5.1614845 0.27113 Assumptions acceptable.
## Skewness           3.2306304 0.07227 Assumptions acceptable.
## Kurtosis           0.0005899 0.98062 Assumptions acceptable.
## Link Function      0.0417659 0.83807 Assumptions acceptable.
## Heteroscedasticity 1.8884982 0.16937 Assumptions acceptable.

también se cumple. Recuerda que hay que fijarse en la última línea, y que en este caso el rótulo puede llevar a equívoco: H0 es “los residuos son homocedásticos” (aunque el rótulo hable de heterocedasticidad). El modelo de regresión lineal tiene sentido.

Ejercicio 4

Calcula los coeficientes de la recta de regresión y sus intervalos de confianza al 95% de confianza Interprétalos

Los coeficientes de la recta son

lmXY$coefficients
## (Intercept)           x 
##  23.2336881  -0.1704644

Observa que la pendiente es megativa, lo que quiere decir que temperaturas altas tienen asociados vientos menos veloces.

Por otro lado, los intervalos de confianza al 95% son

########################################
# INFERENCIA SOBRE LA RECTA DE REGRESION

# intervalo confianza coeficientes recta
confint(lmXY, level = 0.95)
##                  2.5 %    97.5 %
## (Intercept) 19.0600210 27.407355
## x           -0.2236649 -0.117264

  • El intervalo de confianza para el término independiente, en general, no tiene interés, porque se haya fuera de la zona en la que hemos recogido valores (extrapolación).

  • El intervalo de confianza para la pendiente indica que por cada unidad (grado F) que aumenta Temp se espera que la velocidad del viento disminuya en entre 0.12 y 0.22 millas por hora.

Ejercicio 5

Calcula, para las temperaturas Temp = 65 y con Temp = 70 : * El valor de Wind predicho por el modelo.
* El intervalo de confianza para la velocidad media del viento predicha (intervalo de confianza) al nivel de confianza del 95%. * El intervalo para el valor de la velocidad del viento predicha (intervalo de predicción) al nivel de confianza del 95%.

La predicción puntual es la que aparece bajo la etiqueta fit. Las etiquetas lwr y upr hacen referencia a lower y upper, los extremos inferior y superior del correspondiente intervalo:

x = airquality$Temp
y = airquality$Wind
lmXY = lm(y ~ x)

 # intervalo de confianza valor predicho 
predict(lmXY, newdata = data.frame(x = c(65, 70)), 
        interval = "confidence", level = 0.95)
##        fit      lwr      upr
## 1 12.15350 11.30402 13.00298
## 2 11.30118 10.64714 11.95521

Este es el intervalo de confianza para el valor medio predicho

# intervalo de prediccion valor predicho 
predict(lmXY, newdata = data.frame(x = c(65, 70)), 
        interval = "prediction", level = 0.95)
##        fit      lwr      upr
## 1 12.15350 5.887386 18.41961
## 2 11.30118 5.058555 17.54380

Y este el intervalo de confianza para el valor predicho. Observa que en este caso el intervalo es mucho mayor, ya que los valores siempre están más dispersos que su promedio.